[선형대수학] 2. 벡터
선형대수학의 핵심 대상은 벡터와 벡터공간이다.
벡터의 연산, 구조, 공간과 벡터들로 이루어진 다양한 수학적 현상을 연구하는 것이 선형대수학이기 때문에 선형대수학의 가장 기본이 되는 벡터에 대한 이해가 필요하다.
물리시간에 배운 벡터는 방향과 크기를 가지는 물리량이였다.
예를 들어 속도, 변위, 가속도, 힘 등이 이에 해당한다.
선형대수학에서 벡터는 단순히 방향과 크기를 가지는 물리량을 넘어서 벡터 공간의 원소로써 수학적으로 정의되는 더 넓은 개념이다.
이를 이해하기 위해서는 벡터를 정의하는 3가지 관점에 대해 알아야한다.
벡터를 정의하는 세가지 관점
벡터는 세가지의 관점으로 정의할 수 있다.
1. 방향과 길이를 가진 물리량 (물리학)
2. 숫자 자료의 배열 (컴퓨터 과학)
3. 1번과 2번의 관점을 일반화한 것 (수학)
1번의 관점은 물리학에서 나오는 관점이다.
학창시절에 한번씩은 접하는 개념이다.
길이와 방향을 모두 가지며 물리학에서 보는 속도, 힘, 가속도, 변위등은 모두 벡터에 해당된다.
2번의 관점은 컴퓨터 과학에서의 관점이다.
즉, 튜플이나 리스트로 볼 수 있다.
n개의 숫자를 순서대로 나열한 형태이며 고차원 데이터, 좌표, 신호, 이미지 등 다양한 정보를 수학적, 공학적으로 다루는 기본 단위이다.
3번의 관점은 앞의 1번과 2번을 일반화시킨 수학자의 관점이다.
벡터끼리 더하고 곱하고 상수배하는 것 등 모든 연산이 가능한 것으로 바라본다.
앞서 본 관점들과 비교하면 다소 추상적이라고 볼 수 있다.
이 관점에서 벡터는 벡터 공간의 원소로 정의된다.
벡터 공간이란, 벡터들 사이에 덧셈과 스칼라 곱(상수배) 연산이 정의되어 있고, 이 연산들이 특정 규칙(공리)을 만족하는 집합이다.
선형대수학을 공부하면서 이러한 관점들을 균형 있게 익히는 것이 가장 효과적이라고 한다.
벡터의 덧셈
벡터끼리 더한다는 것은 두 개 이상의 벡터를 합쳐서 하나의 새로운 벡터인 합성벡터를 만든다는 것을 의미한다.
예를 들어,
(오른쪽으로 5만큼의 크기를 가지는 벡터) + (오른쪽으로 2만큼의 크기를 가지는 벡터)
= (오른쪽으로 7만큼의 크기를 가지는 벡터)
와 같이 연산하여 오른쪽으로 7만큼의 크기를 가지는 벡터를 만들어내는 것이 벡터의 덧셈이다.
위와 같은 경우는 한 방향으로 향하는 벡터들끼리 연산하여 매우 간단하게 합성벡터가 나온다.
만약 방향이 다른 벡터끼리 연산을 하려면 어떻게 해야할까?
예를 들어 위에서 예시를 든 벡터 중 파란색 화살표에 해당하는 벡터가 가리키는 방향이 아래와 같다고 해보자.
이때 두벡터를 이어붙인 후 첫번째 벡터의 시작점과 두번째 벡터의 끝점을 잇는 방식으로 더한 벡터를 구할 수 있다.
이를 '삼각형법'이라고 부른다.
그러면 저 초록색 벡터의 크기는 어떻게 알 수 있을까?
삼각형법이라는 단어에 걸맞게 그림 속 벡터는 삼각형을 이루고 있고, 삼각형의 각 변의 길이가 각각의 변에 해당하는 벡터의 크기와 일치한다.
따라서 우리가 잘 아는 삼각형 변 길이 구하는 계산을 통해 구해낼 수 있다.
벡터의 뺄셈
5 - 2 = 3
위 수식은 두 수를 뺄셈하는 수식이다.
이 수식을 다음과 같이 바라볼 수도 있다.
5 + (-2) = 3
5에다가 -2를 더하는 관점이다.
벡터끼리의 뺄셈에서도 이 원리를 적용시킬 수 있다.
어떠한 특정 벡터의 부호가 반대라는 것의 의미가 뭘까?
자동차가 오른쪽으로 달려가고 있다.
자동차의 속도를 벡터로 표현하면 아마 이런 모양일 것이다.
이 벡터를 a라고 두자.
그럼 -a는 속력은 그대로이고 방향은 다른 화살표로 나타낼 수 있다.
즉, 벡터의 부호가 바뀌면 화살표 방향도 정반대로 바뀐다.
이를 이용하면 결국 벡터의 덧셈으로 바꿔서 표현해 계산할 수 있다.
다른 방법도 있다.
뺄셈하고자 하는 벡터들의 시작점을 맞닿게 한 후 수식이 만약 a - b라면 b의 끝점에서 시작해서 a의 끝점까지 화살표를 이으면 a-b를 연산한 결과인 벡터가 나온다.
이러한 현상이 나타나는 이유를 설명하는 글 중 흥미로운 시선으로 설명해주는 글을 보았다.
사과 100개 중 73개를 먹었을 때 남는 사과의 수를 구하는 과정을 수식으로 적으면
100 - 73 = 27
위와 같다.
이때 '사과 100개 중 73개를 먹어 27개가 남았다.'라고 해석할 수도 있지만
'사과 73개가 있는데, 100개를 채우려면 몇개가 있어야 하는가?'로 바라볼 수 있다.
즉, 뺄셈 연산의 결과물을 목표 상태에 도달하기 위해 필요한 수라고 바라보는 것이다.
이 관점을 적용해 수식을 보면
(목표) - (현재) = (부족한 부분)
으로 생각할 수 있다.
점 A가 목표인 상황(OA)에서 현재 B지점인 상황(OB)이다.
현재 지점에서 A로 가려면 BA가 필요하다는 관점으로 벡터끼리의 뺄셈을 바라볼 수 있다.
출처: https://blog.naver.com/nowedu1/220754491852
벡터의 상수배
특정 벡터를 상수배 한다는 것은 벡터의 크기를 변화시킨다는 것을 의미한다.
이때 벡터에 상수배하는 숫자를 스칼라라고 한다.
※ 상수배는 덧셈의 연속
2+2+2 = 2x3
위의 식처럼 곱셈은 덧셈의 연속이기 때문에 벡터 a에 2를 곱한다는 것은 a+a를 한다는 이야기와 똑같다.
겹쳤을 때 같으면 같은 벡터?
위 3개의 벡터는 같은 방향 같은 크기의 벡터들이다.
이 벡터들을 서로 겹쳐보면 정확히 같을 것이다.
이때 이 벡터들은 서로 '같은' 벡터라고 정의할 수 있다.
딱 봐도 위치가 서로 다른데 왜 같은 벡터라고 하는걸까?
그 이유는 벡터라는 것이 기본적으로 '크기와 방향'만을 나타내는 수학적 개념이기 때문이다.
예를 들어, 점 A(1, 2)와 벡터 (1, 2)는 표기법은 같아도 해석이 다르다.
점 A는 위치를 의미하고, 벡터 (1, 2)는 원점에서 x축으로 1, y축으로 2만큼 이동하는 이동량을 의미한다.
이후에 배울 행렬식에도 벡터의 시작점은 고려되지 않는다.
마무리
이번 기회를 통해서 간단히 지나쳤던 벡터를 찬찬히 뜯어 볼 수 있었다.
또한 벡터는 위치가 아닌 크기와 방향을 나타낸다는 점을 다시 인지함으로써 '같은 벡터'라는 것이 정확히 어떠한 의미를 지니는 것인지 확실하게 알아가는 시간이 되었다.
이 내용은 선형대수학을 배우기 전 매우 기초적인 개념이지만 오히려 그렇기에 확실히 알고가야 한다는 생각으로 공부에 임했다.
이 다음부터는 본격적인 선형대수학을 탐구해 볼 예정이다.